作者：邰原朗
链接：https://www.zhihu.com/question/26743347/answer/34235147
来源：知乎

著作权归作者所有，转载已获得授权。

“商品推荐”系统的算法 (Collaborative filtering) 分两大类，
第一类，以人为本，先找到与你相似的人，然后看看他们买了什么你没有买的东西。这类算法最经典的实现就是“多维空间中两个向量夹角的余弦公式”；
第二类, 以物为本直接建立各商品之间的相似度关系矩阵。这类算法中最经典是 '斜率 =1' (Slope One)。amazon 发明了暴力简化的第二类算法，‘买了这个商品的人，也买了 xxx’。

我们先来看看第一类，最大的问题如何判断并量化两人的相似性，思路是这样 --
例子：
有 3 首歌放在那里，《最炫民族风》，《晴天》，《Hero》。
A 君，收藏了《最炫民族风》，而遇到《晴天》，《Hero》则总是跳过；
B 君，经常单曲循环《最炫民族风》，《晴天》会播放完，《Hero》则拉黑了
C 君，拉黑了《最炫民族风》，而《晴天》《Hero》都收藏了。

我们都看出来了，A,B 二位品味接近，C 和他们很不一样。
那么问题来了，说 A，B 相似，到底有多相似，如何量化？

我们把三首歌想象成三维空间的三个维度，《最炫民族风》是 x 轴，《晴天》是 y 轴，《Hero》是 z 轴，对每首歌的喜欢程度即该维度上的坐标，
并且对喜欢程度做量化 (比如： 单曲循环 =5, 分享 =4, 收藏 =3, 主动播放 =2 , 听完 =1, 跳过 =-1 , 拉黑 =-5)。
那么每个人的总体口味就是一个向量，A 君是 (3,-1,-1)，B 君是 (5,1,-5)，C 君是(-5,3,3)。 (抱歉我不会画立体图)
我们可以用向量夹角的余弦值来表示两个向量的相似程度， 0 度角 (表示两人完全一致) 的余弦是 1， 180% 角 (表示两人截然相反) 的余弦是 -1。

根据余弦公式,夹角余弦 = 向量点积 / (向量长度的叉积)= (x1x2 + y1y2 + z1z2) / (跟号 (x1 平方 +y1 平方 +z1 平方) x 跟号(x2 平方 +y2 平方 +z2 平方) )
可见 A 君 B 君夹角的余弦是 0.81 ， A 君 C 君夹角的余弦是 -0.97 ，公式诚不欺我也。
以上是三维 (三首歌) 的情况，如法炮制 N 维 N 首歌的情况都是一样的。
假设我们选取一百首种子歌曲，算出了各君之间的相似值，那么当我们发现 A 君还喜欢听的《小苹果》B 君居然没听过，相信大家都知道该怎么和 B 君推荐了吧。

第一类以人为本推荐算法的好处我想已经很清楚了，那就是精准！
代价是运算量很大，而且对于新来的人 (听得少，动作少)，也不太好使，
所以人们又发明了第二类算法。

假设我们对新来的 D 君，只知道她喜欢最炫民族风，那么问题来了，给她推荐啥好咯？

如图，推荐《晴天》！

呵呵，第二类算法的好处大家也看出来了，简单粗暴好操作 (也适合 map-reduce)，可精度差了点。

所以，各家网站真正的推荐算法，是他们在综合上述两类算法的基础上，各自研制并且不断地改进调节的，外人不得而知！ ^_^